STRATEGI DALAM PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA
3. Strategi Pemecahan Masalah Matematika
Langkah kedua dalam memecahkan masalah adalah merencanakan strategi yang efektif.
Banyak strategi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah, diantaranya adalah
menyelesaikan masalah secara mundur/dari belakang (working backwards), menyelesaikan
masalah secara langsung (acting out the problem), dan mengubah cara pandang terhadap
masalah (changing your point of view) seperti yang diungkapkan Sheffield dan Cruikshank
(1996: 37) dalam bukunya. Selain itu, menurut Posamentier (2009) dalam bukunya
mengungkapkan bahwa pada tingkat dasar (grades 3-6) ada 9 strategi yang dapat digunakan,
sedangkan untuk tingkat menengah (grades 6-12). Posamentier (1998) menyatakan
ada 10 strategi yang dapat digunakan dalam memecahkan masalah. Sepuluh strategi
pemecahan masalah tersebut diuraikan sebagai berikut.
3.1. Menyelesaikan Masalah Secara Mundur/dari Belakang
Masalah rutin umumnya dimulai dari konsep awal dan siswa ditugaskan menyelesaikannya.
Lalu bagaimana jika sebaliknya(diberikan jawaban akhirnya untuk mendapatkan nilai-nilai
awalnya)?Untuk menyelesaikan masalah seperti ini siswa dapat menyelesaikannya secara
terbalik pula, dimana siswa bergerak mundur ke belakang untuk mendapatkan hasil-hasil
awalnya.
Contoh masalah 1:
Ibu mempunyai 10 apel, 15 jeruk dan 20 pisang yang akan disajikan dalam beberapa piring
dengan komposisi yang sama. Berapa piring yang harus disediakan Ibu?
Alternatif solusi:
Masalah di atas, mensyaratkan bahwa dalam setiap piring harus diisi oleh 3 macam
buah(apel, jeruk, dan pisang) dan tidak boleh ada tersisa. Seandainya kita membagikannya
dalam piring, kita akan kesulitan menentukan dengan tepat banyak piring yang harus
disediakan. Untuk itu, kita harus menyelesaikannya secara terbalik. Kita perlu membagi
setiap jenis buah ke dalam beberapa bagian dalam jumlah yang sama, sehingga diketahui:
Apel sejumlah 10 disajikan dalam 2 × 5 piring = 5 × 2 piring
Jeruk sejumlah 15 disajikan dalam 3 × 5 piring = 5 × 3 piring
Pisang sejumlah 20 disajikan dalam 2 ×10 piring = 4 × 5 piring = 5 ×4 piring
= 10 ×2piring
Karena banyak piring yang sama untuk setiap jenis buah adalah 5 piring, maka diketahui
bahwa penyelesaian yang tepat adalah bahwa harus ada 5 piring yang harus disediakan
untuk disajikan, dan setiap piring harus diisi oleh 2 apel, 3 jeruk, dan 4 pisang.
3.2. Menemukan Pola
Matematika merupakan konsep yang teratur dan memiliki pola yang tetap. Sehingga
beberapa masalah matematika pastilah akan mengandung pola-pola yang kemudian dapat
dikembangkan menjadi konsep matematika yang utuh. Oleh karena itu, harus diteliti
permasalahannya dan menyatakan pola tersebut untuk membentuk konsep
matematikanya.
Contoh masalah 2:
Suhu di dalam kulkas sebelum dihidupkan 29°C. Setelah dihidupkan suhunya turun 3°C
setiap 5 menit. Berapakah suhu di dalam kulkas setelah 30 menit?
Alternatif solusi:
Permasalahan ini menyatakan bahwa setiap 5 menit suhu dalam kulkas turun 3°C.
Berarti setelah 10 menit suhunya turun menjadi 3°C + 3°C = 2 × 3°C.
Karena 10 menit = 2 × 5 menit, itu artinya bahwa setiap kelipatan 5 menit maka suhunya
turun sebanyak hasil kali kelipatan 5 menit dengan 3°C.
Atau dapat dinyatakan bahwa n × 5 menit = n × 3°C.
Dengan demikain, 30 menit = 6 × 5 menit = 6 × 3°C = 18°C.
Pada awalnya suhu kulkas adalah 29°C dan turun sebesar 18°C, maka
29°C – 18°C = 11°C.
Jadi setelah 30 menit suhunya adalah 11°C.
3.3. Mengubah Cara Pandang Terhadap Masalah
Suatu masalah dapat dipandang dari berbagai sudut pandang seseorang sehingga masalah
itu dikatakan bernilai relatif, dapat menjadi mudah atau sebaliknya dapat menjadi sulit.
Demikian pula halnya dengan masalah matematika. Jangan hanya terpaku pada satu
konsep saja sehingga tidak terjebak. Dengan mengubah sudut pandang, akan ditemukan
konsep lain yang tersembunyi yang memungkinkan untuk menyelesaikannya dengan
mudmatika.org ISSN 2407-8530
363
Contoh masalah 3:
Perhatikan gambar di samping!
Jika K, L, M, N merupakan titik tengah masing masing garis
AD, AB, BC, dan CD dari suatu persegi ABCD.Apabila luas
persegi ABCD adalah 6p2, berapakah luas persegi KLMN?
Gambar 2. Persegi ABCD
Alternatif solusi:
Jika diperhatikan, kita akan merasa sulit untuk menyelesaikan masalah ini apalagi jika kita
tidak menguasai Teorema Pythagoras untuk menghitung panjang sisi-sisi pada persegi
KLMN. Selain itu, kita juga harus menentukan panjang sisi persegi ABCD terlebih dahulu.
Tetapi jika kita memandang masalah dari sudut pandang lain, yaitu
dengan membagi bangun persegi tersebut menjadi beberapa bagian,
maka akan diperoleh seperti gambar di samping berikut ini.
Terlihat bahwa persegi ABCDterdiri atas 8 bagian dan persegi KLMN4
bagian sama besar sehingga perbandingan
ABCD : KLMN = 8 : 4 = 2 : 1.
Dengan demikian, luas persegi KLMN =
× 6p2 = 3p2.
3.4. Menggunakan Analogi/Pengandaian Sederhana
Karena matematika merupakan konsep yang teratur dan memiliki pola yang tetap, dapat
digunakan pengandaian sederhana untuk mengungkapkan konsep yang umum dari konsep
yang khusus atau sebaliknya. Pengandaian dapat mengungkapkan pola khusus sehingga
memungkinkan membuat konsep yang umum.
Contoh masalah 4:
Suatu pekerjaan dapat diselesaikanoleh 32 pekerja dalam waktu 81 hari. Setelah dikerjakan
15 hari, pekerjaan itu dihentikan selama 18 hari. Jika kemampuan bekerja setiap orang sama
dan agar pekerjaan tersebut selesai sesuai jadwal semula, maka banyak pekerja tambahan
yang diperlukan adalah….
Alternatif solusi:
Andaikan bahwa banyaknya pekerjaan itu adalah hasil kali banyaknya pekerja dengan
banyaknya waktu yang ada, maka banyaknya pekerjaan adalah
n(Ps) = 32 × 81 = 2592.
Banyaknya pekerjaan selama 15 hari adalah
n(P1) = 32 × 15 = 480.
Karena pekerjaan dihentikan selama18 hari, maka sisa tenggat waktu adalah
81 – 15 – 18 = 81 – (15 + 18) = 81 – 33 = 48 hari
sedangkan banyak pekerjaan yang tersisa adalah
2592 – 480 = 2112
K
D
N C
M
B
L
sehingga jumlah pekerja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan adalah
2112 : 48 = 44 orang pekerja.
Jadi pekerja tambahan yang diperlukan adalah selisih jumlah pekerja sebelum dan sesudah
libur, yaitu 44 – 32 = 12 orang.
3.5. Menggunakan/Mempertimbangkan Kondisi yang Ekstrim
Beberapa masalah yang terjadi terkadang lebih mudah dipahami jika kita
mengasumsikannya dalam kondisi paling ekstrim (jika perlu meniadakan kondisi tersebut).
Misalkan saja suatu hal yang terjadi dianggap berada pada kondisi awal (pada titik nol)
atau bahkan dapat juga dianggap sebagai kondisi yang mustahil. Dengan
mengasumsikannya secara demikian, permasalahan tersebut dapat diselesaikan.
Contoh masalah 5:
Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan tetap 55 km/jam. Sebuah mobil lain tepat berada
km di belakangnya. Tepat setelah 1 menit kemudian, mobil kedua menyusulnya.
Berapakah kecepatan mobil kedua tersebut?
Alternatif solusi:
Jika kita mengamati masalah tersebut, kita hanya dapat menemukan informasi yang kurang
berarti, yaitu bahwa mobil pertama bergerak tetap 55 km/jam.Mobil kedua berapa
km
dibelakangnya dan setelah 1 menit mobil kedua menyusul mobil pertama.Kita tidak
mungkin menyatakan kecepatan mobil kedua berdasarkan informasi yang diperoleh di
atas.Untuk itu, kita perlu mengasumsikan masalah tersebut dalam kondisi yang
ekstrim.Karena mobil pertama bergerak tetap (konstan), kita dapat mengasumsikan bahwa
mobil itu bergerak dengan kecepatan 0 km/jam.Berdasarkan informasi kedua dan ketiga,
kita dapat menyatakan bahwa mobil kedua mampu bergerak sejauh
km dalam waktu
1 menit. Itu artinya bahwa kecepatan mobil kedua adalah
km/menit atau
30 km/jam.Kecepatan mobil kedua pastilah 30 km/jam lebih cepat dari mobil pertama
sehingga kecepatan mobil kedua adalah 85 km/jam (30 km/jam + 55 km/jam).
3.6. Membuat Gambaran
Masalah yang terjadi dapat diilustrasikan dalam bentuk lain seperti gambar, grafik,
maupun tabel untuk mempermudah kita menentukan penyelesaiannya. Dengan bantuan
gambar, grafik, maupun tabel, kita dapat menyusun pola yang tepat sehingga informasi
yang diperoleh lebih berarti.
365
Contoh masalah 6:
Untuk melindungi kebunnya dari hewan liar, Pak Karto membuat pagar kawat di sekeliling
kebunnya yang berbentuk persegi. Seandainya luas kebun Pak Karto adalah 64 m2 dan
setiap 1 meter dipasangi tiang pagar penyangga kawat, berapa banyak tiang yang
diperlukan Pak Karto untuk memagari kebunnya?
Alternatif solusi:
Beberapa informasi yang diketahui adalah bahwa kebun Pak Karto berbentuk persegi
dengan luas 64 m2 sehingga diketahui bahwa panjang sisi kebun tersebut adalah 8 m.
Karena hendak dipasangi tiang di sekeliling kebun, maka keliling kebun Pak Karto adalah
4 × 8 meter atau sama dengan 32 meter. Lalu, benarkah bahwa banyak tiang yang
diperlukan adalah 32 buah? Untuk membuktikannya, kita dapat mengilustrasikan masalah
tersebut dalam bentuk gambar sebagai berikut.
X X X X X X X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X X X X X X X
Gambar 3. Kebun Pak Karto
Dengan demikian, diketahui bahwa banyak tiang yang dibutuhkan untuk memagari kebun
Pak Karto adalah 28 buah tiang, bukan 32 buah tiang.
3.7. Melakukan Ujicoba (trial-error)
Beberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan melakukan
ujicoba, seperti misalnya membuat warna tertentu dengan menggunakan campuran warna
dasar. Strategi ini mungkin bukan termasuk dalam prosedur matematika, tetapi konsep
seperti ini dapat digunakan untuk memecahkan masalah tertentu yang penyelesaiannya
membutuhkan waktu yang lama jika diselesaikan secara matematika atau jika
penyelesaiannya menjadi lebih rumit. Ujicoba yang digunakan haruslah menggunakan
pemikiran yang baik.Setelah melakukan ujicoba, jika hasilnya gagal, dapat melalukan
ujicoba lainnya hingga dapat diselesaikan.
Contoh masalah 7:
Pada saat ujian, Tuti diberikan 20 soal pilihan ganda. Jika Tuti menjawab benar diberikan
skor 5, jika menjawab salah diberikan skor (-2), dan jika tidak menjawab diberikan skor 0.
Jika diketahui skor Tuti adalah 44 dengan beberapa soal yang tidak dijawab, berapakah
banyak soal yang tidak dijawab Tuti?
Alternatif solusi:
Seandainya kita menggunakan konsep matematika, kita dapat mengasumsikan bahwa ada
tiga variabel yaitu soal dijawab dengan benar (x), soal dijawab tetapi salah (y), dan soal tidak
dijawab (z)sehingga dengan menggunakan konsep aljabar diperoleh:
x+y+z =20
5x –2y +0z =44
Bagaimana kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut?
Umumnya, untuk menyelesaikan bentuk persamaan linier tiga variabel diperlukan
3 persamaan linier. Karena kita hanya mempunyai 2 persamaan di atas, maka perlu strategi
lain untuk memecahkannya. Lakukan percobaan untuk menentukan hasil-hasilnya sebagai
berikut.
1) Ambil kemungkinan dimana jika jumlah soal benar × 5 menghasilkan skor lebih
besar dari 44, misalkan 10.
2) Tentukan jumlah soal salah × (−2) menghasilkan skor 44.
3) Tentukan banyak soal yang tidak dijawab.
Tabel 1. Uji Kemungkinan Jawaban Ujian Tuti
Jumlah Benar
× 5
Jumlah Salah
× (−2)
Tidak dijawab
× 0 Skor total
10
×
5 = 50 3
×
(−2) = −6 20 – (10+3) = 7 44
11
×
5 = 55 ** ** **
12
×
5 = 60 8
×
(−2) = −16 20 – (12+8) = 0 44
** ** ** **
Berdasarkan ujicoba tersebut, diketahui bahwa ada dua kemungkinan yang dapat dijadikan
jawabannya, yaitu bahwa soal yang tidak dijawab Tuti ada 7 soal atau tidak ada satupun soal
yang tidak dijawab. Karena pada soal dinyatakan bahwa ada soal yang tidak dijawab Tuti,
maka banyak soal yang tidak dijawab Tuti ada 7 soal.
3.8. Mempertimbangkan Segala Kemungkinan
Strategi ini hampir sama dengan prinsip yang digunakan dalam kegiatan ujicoba (trial and
error). Perbedaannya adalah ketika terdapat kemungkinan lain yang dapat dijadikan
jawaban, maka kita harus melakukan pemeriksaan terhadap kemungkinan tersebut seperti
yang terdapat pada contoh masalah 6 dan 7. Perlu mempertimbangkan kemungkinan
367
kemungkinan tersebut sehingga dapat menyatakan dengan pasti solusi yang tepat dari
permasalahan tersebut.
Contoh masalah 8:
Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan ditambahkan 1, maka pecahan itu menjadi
.
Adapun bila masing-masing pembilang dan penyebut dikurangi 1, maka pecahan itu menjadi
. Apakah bilangan pecahan yang dimaksud?
Alternatif solusi:
Misalkan kita nyatakan bahwa bilangan pecahan tersebut adalah
.
Dari masalah diperoleh informasi bahwa:
+ 1
+ 1 =
1
2
dan
− 1
− 1 =
1
3
Ini berarti bahwa pecahan
dan
merupakan bentuk pecahan yang paling sederhana
sehingga pecahan yang senilai dari
dan
adalah
1
2=
2
4=
3
6=
4
8=
5
10 =
6
12 = ⋯
dan
1
3=
2
6=
3
9=
4
12 =
5
15 = ⋯
Karena pecahan tersebut mengalami dua operasi yaitu ditambah 1 dan dikurangi 1, maka
hasil dari operasi tersebut pastilah berselisih 2. Diantara kedua pecahan yang memiliki
selisih 2 pada pembilang dan penyebutnya adalah
dan
sehingga:
+ 1
+ 1 =
4
8
dan
− 1
− 1 =
2
6
sehingga diperoleh a = 3 dan b = 7.
Jadi pecahan yang dimaksud adalah
.
3.9. Mengorganisir Data
Suatu masalah umumnya disertai oleh beberapa informasi penting yang menuntun kita pada
jawaban yang dikehendaki.Salah satu strategi yang dapat kita gunakan adalah mengorganisir
data tersebut, mengolahnya, dan menyatakannya sebagai suatu kesimpulan yang pasti.
Contoh masalah 9:
Anto, Budi, dan Doni sama-sama menggemari renang. Anto berenang setiap 4 hari sekali,
Budi berenang setiap 5 hari sekali, dan Doni berenang setiap 7 hari sekali. Jika pada tanggal
3 Agustus 2015 mereka sama-sama berenang, tanggal berapakah mereka akan sama-sama
berenang kembali?
Alternatif solusi:
Karena Anto berenang setiap 4 hari sekali, Budi berenang setiap 5 hari sekali, dan Doni
berenang setiap 7 hari sekali, maka kita dapat menyatakannya dalam bentuk kelipatan
persekutuan terkecil dari 4, 5, dan 7, yaitu:
Anto = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …, 140, …, 280, …}
Budi = {5, 10, 15, 20, 25, 30, …, 140, …, 280, …}
Doni = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …, 140, …, 280, …}
Karena paling cepat mereka bertemu 140 hari kemudian, dimana bulan Agustus berjumlah
31 hari, bulan September berjumlah 30 hari, bulan Oktober berjumlah 31 hari, bulan
Nopember berjumlah 30 hari, dan Desember berjumlah 31 hari, sehingga totalnya ada
153 hari.
Setelah dikurangi 3 hari, diperoleh bahwa sampai akhir bulan Desember ada 150 hari.
Karena paling cepat mereka bertemu 140 hari kemudian, maka mereka akan bertemu pada
tanggal 21 Desember 2015.
3.10. Menggunakan alasan logis
Terkadang suatu masalah memiliki banyak kemungkinan jawaban. Tidak semua jawaban
tersebut dapat dinyatakan sebagai jawaban karena alasan yang logis. Untuk itu, kita harus
mempertimbangkan kemungkinan jawaban yang ada berdasarkan alasan yang logis seperti
yang telah kita lakukan pada saat menyelesaikan masalah 8 di atas.
Perhatikan contoh masalah 8 di atas:
Ketika kita melihat banyaknya kemungkinan pecahan senilai dari
dan
, kita harus melihat
kemungkinan tersebut dengan menggunakan alasan logis bahwa setelah ditambah 1
menjadi
dan setelah dikurangi 1 menjadi
. Ini berarti bahwa pembilangnya bernilai
di antara pembilang pecahan senilai dari
dan
. Demikian pula untuk penyebutnya. Dengan
369
demikian, dapat kita simpulkan bahwa bilangan pembilang tersebut berada diantara pecahan
senilai dari
dan
dimana selisih keduanya adalah 2.
Pecahan senilai dari
dan
yang mungkin adalah
dan
sehingga kita akan memperoleh
pecahan
sebagai jawaban karena 3 berada di antara 2 dan 4.Demikian pula 7 berada
di antara 6 dan 8.
No comments:
Post a Comment